By Prof. Dr. Georg Schlüchtermann, Dr. Stefan Pilz (auth.)
Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert.
Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. Im umfangreichen dritten Kapitel werden Methoden der stochastischen research wie die Ito-Formel abgeleitet und der klassische Ansatz nach Black-Scholes mittels der stochastischen Differenzialgleichung präsentiert.
Der Ansatz über die Martingaltheorie nach Kreps und Harrison ist der Gegenstand am Beginn des vierten Kapitels, was once für die Bewertung komplexer Optionen (amerikanische und exotische) notwendig ist. Im letzten Kapitel sind die Grundlagen der Zinsstrukturmodelle Gegenstand der Betrachtung. Die Bewertung innerhalb der verschiedenen Ansätze (mittels Zinskurvenmodelle oder der Vorwärtsrate) wird diskutiert.
In allen Abschnitten werden numerische Methoden angegeben, die mit Programmen zur praktischen representation implementiert werden.
Arbitragetheorie anhand von diskreten Finanzmodellen - Black-Scholes Theorie (Cox-Ross-Rubinstein Herleitung) - Zeitstetige Modelle und stochastische Differenzialgleichungen - Martingaltheorie - Amerikanische und exotische Optionen - Zinsstrukturmodelle - Numerische Methoden - Softwareimplementierung
- Studierende der Mathematik, Finanz- und Wirtschaftsmathematik bzw. Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen
- Praktiker und Berufeinsteiger in der Finanzwirtschaft, insbesondere Praktiker mit Interesse an den theoretischen Grundlagen der Bewertung von Finanzderivaten
Prof. Dr. Georg Schlüchtermann, Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Stefan Pilz, Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität München
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M oder D• j0 , θ < 0 für mindestens ein j0 ∈ {1, . . , M}. 1) M M θ , q = (D T ◦ θ ), ψ = ψ j · (D T ◦ θ ) j = j=1 ψ j D• j , θ j=1 gilt. Ist θ , q < 0, so muss mindestens einer der obigen Summanden negativ sein. Da alle Koordinaten von ψ strikt positiv sind, folgt D• j0 , θ ≤ 0 für mindestens ein j0 ∈ {1, 2, . . M}. Gilt q, θ = 0, so sind entweder alle Summanden in der obigen Summe gleich null, oder es gibt einige strikt negative und andere strikt positive Summanden. Dann folgt die Aussage wie im ersten Fall.
N − ( j − 1) − k)! [n − ( j − 1)]! [n − ( j − 1) − k]! k Literaturhinweise und Geschichtliches Das binomiale Modell ist grundlegend für die Herleitung der Black-Scholes-Formel ohne Kenntnis der stochastischen Analysis. Wir kommen deshalb in den nächsten Abschnitten darauf zurück. Wenn man den Verlauf des Kurses eines Wertpapiers auswerten will, muss man zwangsläufig wieder diskretisieren. 3 haben wir es also erneut mit dem binomialen Modell zu tun. Die Herleitung der Black-Scholes-Formel mithilfe des binomialen Modells beruht auf Cox, Ross und Rubinstein [CRR79].
N} durch Fi = 1 EQ (F|Fi ) (1 + R)n−i gegeben. Insbesondere gilt F0 = 1 EQ (F). 2 herleiten. Denn aus P(Hn = j) = n Q j Qn− j (Binomische Formel) j U D für j ∈ {0, . . , n}, erhalten wir n EQ ( f (S)) = n f (S0U j Dn− j )P(Hn = j) = j=0 j=0 n j f (S0U j Dn− j )QUj Qn− D . 4 Hedgen im log-binomialen Modell 53 Dies ist der Ausdruck für den Wert von f (Sn ) zur Zeit t = 0. Mit einer ähnlichen Argumentation kann man für die Zeiten i = 1, 2, . . n − 1 die Bestimmung der Werte von f (Si ) durchführen.