By Stefan Hildebrandt
Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.
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Ist {xj } eine beschr¨ xj ∈ [−k, k] f¨ ur alle j ∈ N . Halbieren wir [−k, k], so muß eine der beiden H¨alften [−k, 0] und [0, k] unendlich viele Folgenglieder enthalten; diese H¨ alfte heiße I1 . 9 Konvergente Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte 43 wir I1 . Wiederum muß eine der beiden H¨ alften unendlich viele xj enthalten; ein solches abgeschlossenes Intervall werde gew¨ ahlt und heiße I2 . Durch fortgesetzte Halbierung entsteht so eine Intervallschachtelung {In } mit der Eigenschaft, daß in jedem Intervall In unendlich viele Folgenglieder xj liegen.
Dies rechtfertigt ” die Bezeichnung von Axiom (III) als Vollst¨ andigkeitsaxiom“. ” Bemerkung 1. Der Satz 5 erlaubt es uns, ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung von √ c f¨ ur eine vorgegebene reelle Zahl c > 0 zu erdenken. Zun¨ achst ermitteln wir durch Aus” probieren“ die gr¨ oßte Zahl g ∈ N0 , so daß g 2 ≤ c ist; nach dem Satz von Archimedes gibt es eine solche Zahl. Dann halbieren wir das Intervall I1 := [a1 , b1 ] mit den Randpunkten a1 := g, b1 := g + 1 und bilden x1 := 12 (a1 + b1 ).
Zur Bequemlichkeit des Lesers wollen wir einen einfachen Beweis der Behauptung (1) f¨ ur g ∈ N andeuten. Die Existenz wird mittels Induktion gezeigt, indem man zuerst vermerkt, daß g = 1 als g = 1·20 geschrieben werden kann. 8 Dualdarstellung reeller Zahlen. h. die gew¨ unschte Darstellung gilt f¨ ur g = n + 1 und somit f¨ ur alle g ∈ N. Die Eindeutigkeit der gew¨ unschten Dualdarstellung von g sieht man so: Angenommen, es w¨ are p q Zj∗ · 2j Zj · 2j = g = j=0 j=0 mit Zp = Zq∗ = 1 , Zj , Zj∗ ∈ {0, 1}.