By Prof. Jürgen Appell, Dr. Martin Väth (auth.)
Ziel des Buches ist es, eine Einführung in die Theorie, Methoden und Anwendungen der Linearen und Nichtlinearen Funktionalanalysis zu geben. Im Unterschied zur Elementaren research arbeitet guy in der Funktionalanalysis vor allem in unendIichdimensionalen Räumen, wie etwa im Raum C[a,b] der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b]. Dort treten viele überraschende Phänomene auf, die im Endlichdimensionalen "verborgen" bleiben.
Im ersten Teil des Buchs werden ausschliesslich lineare Probleme behandelt, im zweiten Teil vor allem nichtlineare. Beiden gemeinsam ist die herausragende Rolle des Begriffs der Kompaktheit, der in vielen Teilen der research und ihrer Anwendungen auf Differentialgleichungen, Integralgleichungen und Fixpunktprobleme von Wichtigkeit ist und sozusagen eine "Brücke" zwischen dem Endlichen und Unendlichen bildet.
Dies ist das erste Lehrbuch, das eine elementare Einführung sowohl in die Lineare als auch in die Nichtlineare research gibt und viele Wechselwirkungen zwischen beiden diskutiert. Ein besonderer Vorteil des Buches liegt auch darin, dass es oft von Beispielen und Gegenbeispielen ausgeht, nicht von abstrakten Überlegungen.
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3) fUr geeignete Indizes ttl, ... , ttm E A. Wamung. 2), immer schon endlich viele der Mengen Ua: zur Uberdeckung geniigen. 2 Notwendige Bedingungen fur Kompaktheit Wir nennen eine Menge M dann: ~ X relativkompakt, falls ihr Abschluss M kompakt ist. 1. Eine Menge Mist genau dann kompakt, wenn sie relativkompakt und abgeschlos- sen ist. o Sei M kompakt; wir zeigen, dass M abgeschlossen ist, die Relativkompaktheit von M folgt dann trivialerweise aus M = M. Sei x E X \ M. Fiir jedes Y E Mist dann r(y) := 211x - yll > 0, und das System {Br(y)(X;y) : y EM} ist eine offene Uberdeckung von M.
14. 3 definiert. Beweisen Sie die (strikten) Inklusionen Cp c Co C C C Coo (1 : : : p < 00) und zeigen Sie, dass c und Co Banachraume sind. 15. Der Vektorraum ce := {(Sn)n : (Sn)n E co, Sn 1= a nur fur endlich viele n EN} sei mit der Norm II· Ileoo versehen. Zeigen Sie, dass schlossener Unterraum von co? Ce kein Banachraum ist. 16. In welchem Cp (1 :::::: p :::::: 00) konvergieren die durch (a) Xn:= (1,2, ... ,n,0,0, ... ), (b) X n := (1,1, ... ,1,0,0, ... ), (c) Xn:= (~,~, ... :~,O,O, ... ), (d) X n := (n1«, ;«, ...
E Norm auf X/U gegeben. 1st X Banachraum, so ist auch X/U Banachraum. mmanchen Biichem auch Faktorraum genannt 4Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass diese Operationen tatslichlich wohldefiniert sind, da U ein Unterraum ist. 3 20 1 Normierte lineare Riiume o Offensichtlich gilt II [xllix/u = 0 genau fUr x E U; hier benutzen wir die Abgeschlossenheit von U. 37) folgen direkt aus der Definition der Addition und Multiplikation mit Skalaren auf X / U. Wrr zeigen nun die Vollstandigkeit von X / U unter der Annahme, dass X vollstandig ist.