Semigruppi di Trasformazioni Multivoche by G. P. Szegö, G. Treccani (auth.)

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9 TEORE~A Be h+(x) )~)0" ,A+(x) = ~ R + T x, Dimostrazione. 90SSERVAZIONE Un esempio molto semplice chiarirh che pub essere A+(x) = Si consideri l'esempio all'inizio del capitolo, modificato in modo che ciascuna ~(o,t) converga ad I (per difetto) per t---~+~. 55 E' chiaro c h . 10 - [ 0 , 1 ] ,~ compatto, mentre l ' t m i o n e delle classi limite delle Craiettorie uscenti dall'origine ~ eostituita dai pumti 0 9 1, che ~ un insieme ehiuso 9 non connesso. X(O,tj tI 7 9 10 t OSSERVAZ IONE La definizione : quella che formalmente generalizza la definizione valida per i sistemi dinamici ordinari.

La traiettoria y (x) si pub anche denotare con X (x,R). )=tl tot2 ~(x,t) un arco di traiettoria di estrsmi ~~(Xltl) , X(x1~t2) e di lunghezza t2-t 1(se t2)t I). Dimostriamo infine il seguente importante teorema. 9 ed ha per R immagine una traiet- toria uscente da "~(x,~ ), ( ~ r Dimostrazione. R). 9 9 cu( ~ (x,Y~), R) = ~ (x,R). Si tratta di vedere che ~ (x,R) ~ una traiettoria uscente da~(x,~ ). 11 si ha che ~(x , InT" ,(n+1)~ I) n m+l~ x = ~ (x, n • ) e x (x, (n+1)•)e d• lunghezza -~- ; analogamentey un arco di estremi Yn = ~ e lunghezza (x,[-(n+1)~ ,-nIZ] ) (x, -nT) e Yn+1 = ~(x'-(n+1)T) - ~ .

2, le e tgR . 1. 3 ] il sistema dinamico generalizzato. 1 ~ c h e l a ~ (x,t) con la condizione iniziale o. Dimostrazione. condizione generato dalla ~ La sufficienza ~ evidente. ~ necessaria. bile nell'origine e che Vediamo c h e l a Dimostreremo che ~ (x,t) ~ deriva- ~ (x,o) = g (x). 8ia I tnl C R + una successione arbitraria, semplicit~ supponiamo{tnl monotona. tn~-~ o e per - 36- Fissiamo n=o. 0ra ~ (x,t I) C f (x, tl) e anche ~ (x,t~ , t ~ - tl]. 1 nell'intervallo 1 GO (x, t ~ = 00~ (x, t ~ K o,tO S ed Sia n=2 .