By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)
Zur Grundausbildung in Mathematik gehört heute neben der Linearen Algebra, der Differential- und Integralrechnung und den Differentialgleichungen auch stets eine Einführung in die Funktionentheorie, additionally in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Das vorliegende Lehrbuch ist in Umfang und Schwierigkeitsgrad auf das Grundstudium ausgerichtet. Das Buch behandelt die wichtigsten Begriffe und Sätze, einschließlich des Residuenkalküls, bis hin zum Satz von Mittag-Leffler, zum Weierstraßschen Produktsatz und zum Riemannschen Abbildungssatz. Zahlreiche Figuren und kommentierte Übungsaufgaben erleichtern das Durcharbeiten dieser prägnanten, kurzgefaßten Einführung.
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Die analytische Fortsetzung längs Kreisketten längs Wegen hängt dann nur vom Weg und nicht von der Kreiskette ab, genauer: Lemma: Sei "'( : [t 0 , tt] ~ C ein stetiger Weg, K eine offene Kreisscl1eibe um "Y( t 0 ) und K' eine offene Kreisscheibe um "Y( tt). Die holamorphen Funktionen g, g : K' ~ C mögen aus f : K ~ C durch analytische Fortsetzung längs Kreisketten längs "'( hervorgehen. Dann gilt g = g. BEWEIS: Es seien (ro, ... ,Tn) die Unterteilung und (fo, ... ,fn) die Funktionen der ersten Fortsetzung.
40. Die Abbildung • 1 f( z ) -wo =: h(z) 43 ~ Radius F w~--+(w-w 0 )- 1 , die wir dem f nachschalten, um h zu bilden, wirft das Komplement des kleinen Kreises um w 0 ins Innere eines Kreises, also ist h beschränkt auf der punktierten Kreisscheibe {zj 0 < lz - z0I < E} definierten holamorphen Funktion h , nämlich nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz. Aber dort gilt dann auch 1 f(z) = h(z) +wo, und somit wäre z0 eine hebbare Singularität von von f, im Widerspruch zur Voraussetzung. f oder ein Pol 0 Der Satz von Casorati-Weierstraß zeigt also, daß jede noch so winzige Umgebung einer wesentlichen Singularität durch die Funktion über die ganze Zahlenebene explosionsartig "verstreut" wird.
29. schneidet. Das erste "=" gilt nämlich aus Stetigkeitsgründen, das zweite nach dem Cauchyschen Integralsatz; analog für 1 2 . Also folgt die Holamorphie nach dem Satz von Morera. 4 Kapitel 3. Erste Folgerungen Nullstellen holamorpher Funktionen Es sei z 0 Nullstelle einer holamorphen Funktion f. Ist f' (zo) =/- 0 , so nennt man zo eine einfache Nullstelle von f. Allgemeiner heißt die kleinste natürliche Zahl k mit j< k) ( z 0 ) =/- 0 die Ordnung oder Vielfachheit der Nullstelle -falls es nämlich so eine Zahl gibt.