By Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis, Prof. Dr. rer. nat. Peter Maaß, Dr. rer. nat. Andreas Rieder
Wavelets haben in den letzten zwolf Jahren eine sturmische Entwicklung in Forschung und Anwendungen genommen. Wie so oft warfare der Anfang ein ingenieursmassiger Zu gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie denstellend losbar warfare. Im Falle der Wavelets conflict das Versagen klassischer Methoden zur examine geophysikalischer Daten Anlass, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln. Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, dass die Wurzeln der Methode in mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht. Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft: andert sich ein sign an einer Stelle, so andert sich die Transformierte uberall, ohne dass durch blosses Hinschauen die Stelle der Anderung gefunden werden kann. Der Grund ist naturlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonome trischen Funktionen. Verwendet guy dagegen raumlich begrenzte Wavelets, "kleine Wellen" oder "Wellchen" sind Versuche einer Ubersetzung ins Deutsche, so kann durch das Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzauflosung an der entsprechenden Stelle erreicht werden. Schon fruh bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete Transformation untersucht worden. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in terpretiert werden. Ihre clear out- und Approximationseigenschaften werden unters
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The linear equation, in general form, can be written as ax + b = 0, where a and b are some numbers and a ≠ 0. This equation has one solution: x = −b / a ; that is, the linear equation has only one root. 25) ax 2 + bx + c = 0, where a ≠ 0. The rules for the solution of algebraic equations of the first and second degree were well known in antiquity. 26) . 25) — which is defined by the following formula: x1,2 = D = b2 − 4ac. 26) gives exactly two real roots. If D = 0, then x = −b / 2a , and we say that Eq.
22) τ = 1+ 1+ τ . If we continue such substitution ad infinitum, we will get another re markable representation of the golden mean τ in “radicals”: τ = 1 + 1 + 1 + 1 + ... ” In this respect, mathematical creative work (aspiration for “aesthetic” expression of mathematical results), is similar to the creative activity of a composer or poet, because their main aim is to find perfect musical or poetic forms that give rise to aesthetic pleasure. 23) give us an aesthetic pleasure, arousing a feeling of rhythm and harmony when we begin to think of the infinite repeatability of the same simple mathematical elements in formulas for τ.
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