By Raghuveer M. Rao
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Example text
V1 und . V2 gibt es stets zwei positive Zahlen c1 und c2 , so daß gilt c1 x V1 ≤ x ≤ c2 x V2 V1 . 25) Diese Zahlen k¨onnen wir f¨ ur unsere oben eingef¨ uhrten Normen sogar explizit angeben. 27) ≤ x 1. 26) beweisen. Die anderen lassen sich ganz analog herleiten. Das macht dann keinen Spaß mehr. Sei ein beliebiger Vektor x = 0 gegeben. Unter seinen n Komponenten suchen wir die betraglich gr¨oßte und nennen sie xmax . Dann ist die folgende Absch¨atzung m¨oglich: x 2 = x21 + · · · + x2n x2max + · · · + x2max √ = |xmax | · n √ = n x ∞ ≤ womit wir die rechte Ungleichung haben.
0 ⎠ ⎠ ⎝ .. ⎝ .. ··· 1 0 ··· 0 Wir fassen das im folgenden Algorithmus zusammen. 6 L–R–Zerlegung 45 Durchfu ¨hrung der L–R–Zerlegung Man bestimme die zur Elimination erforderlichen Frobeniusmatrizen wie oben beschrieben und bilde A → → F1 · A F2 · F1 · A ··· → Fn−1 · Fn−2 · · · F2 · F1 · A = R. 57) L Hier haben wir weidlich ausgenutzt, daß sich die inverse Matrix einer Frobeniusmatrix so puppig leicht bestimmen l¨ aßt, halt nur durch Vorzeichenwechsel. Das Produkt dieser inversen Matrizen von Frobeniusgestalt ist dann die gesuchte untere Dreiecksmatrix L.
Aus Gr¨ unden der Stabilit¨at empfiehlt sich n¨amlich stets ein solcher Zeilentausch, wie wir im n¨achsten Abschnitt zeigen werden. 2 Pivotisierung Betrachten wir das folgende Beispiel. 8338 ⎠ . 3279. Stellen wir uns vor, daß wir mit einer Rechenmaschine arbeiten wollen, die nur vier Stellen bei Gleitkommarechnung zul¨ aßt. Das ist nat¨ urlich reichlich akademisch, aber das Beispiel hat ja auch nur eine (3 × 3)–Matrix zur Grundlage. Nat¨ urlich k¨onnten wir eine Maschine mit 20 Nachkommastellen bem¨ uhen, wenn wir daf¨ ur das Beispiel entsprechend h¨oher dimensionieren.