By Thomas Rießinger
In diesem beliebten ?bungsbuch werden etwa a hundred and fifty Aufgaben zur Ingenieurmathematik im element vorgerechnet und erkl?rt. Im Gegensatz zu vielen anderen ?bungsb?chern zur Mathematik gibt der Autor hier nicht nur Ergebnisse oder bestenfalls L?sungsskizzen an, sondern er zeigt dem Leser, wie guy solche Aufgaben vom ersten Ansatz bis zum Ergebnis durchrechnet. Schwerpunkt sind die im Lehrbuch "Mathematik f?r Ingenieure" desselben Autors angegebenen ?bungsaufgaben.
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Wahrend dort einfach drei konkrete Vektoren gegeben waren, bei denen man testen mute, ob sie in einer Ebene liegen, taucht hier im zweiten Vektor noch die Variable x auf, ein sogenannter Parameter, und je nachdem, welchen Wert x annimmt, werden die drei Vektoren in einer Ebene liegen oder nicht. Die prinzipielle Vorgehensweise ist allerdings genau die gleiche wie vorher: damit drei dreidimensionale Vektoren in einer Ebene liegen, mu ihr Spatprodukt gleich Null sein, und deshalb werde ich jetzt zuerst das Spatprodukt der drei Vektoren ausrechnen.
5 Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Seitenlangen a und b sowie den Diagonalenlangen u und v. Zeigen Sie: u2 + v2 = 2(a2 + b2 ): Hinweis: Betrachten Sie die Seiten und die Diagonalen des Parallelogramms als Vektoren, schreiben Sie die Diagonalvektoren als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren und verwenden Sie Ihre Kenntnisse u ber das Skalarprodukt. Losung Der Hinweis verrat schon ziemlich deutlich, wie die ganze Sache funktionieren wird. 6 habe ich die benotigten Groen eingetragen: die Seiten des Parallelogramms werden von den beiden Vektoren a und b gebildet, und die Diagonalen im Prallelogramm entstehen, indem man graphisch die Vektoren a und b addiert bzw.
7. Gerade in der Ebene da der Cosinus betragsmaig nie groer als 1 werden kann, da also immer j cos 'j 1 gilt. Damit erhalte ich: jaj jbj j cos 'j = a21 + a22 b21 + b22 j cos 'j a21 + a22 b21 + b22 ; denn wie ich bereits erwahnt habe, ist j cos 'j 1. Damit wird aber insgesamt: ja1 b1 + a2 b2 j = jaj jbj j cos 'j a21 + a22 b21 + b22 ; und die gewunschte Ungleichung ja1 b1 + a2 b2 j a21 + a22 b21 + b22 ist bewiesen. Damit Sie auch hier den gesamten Gedankengang am Stuck sehen, schreibe ich noch einmal den Rechenweg von vorne bis hinten ohne Unterbrechung auf.