By Paul Alexandroff, Heinz Hopf (auth.)
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Whitehead G. W. Homotopy conception (MIT, 1966)(ISBN 0262230194)(1s)_MDat_
The Hypoelliptic Laplacian and Ray-Singer Metrics
This publication offers the analytic foundations to the speculation of the hypoelliptic Laplacian. The hypoelliptic Laplacian, a second-order operator performing on the cotangent package deal of a compact manifold, is meant to interpolate among the classical Laplacian and the geodesic movement. Jean-Michel Bismut and Gilles Lebeau determine the fundamental practical analytic houses of this operator, that is additionally studied from the point of view of neighborhood index concept and analytic torsion.
This booklet offers the 1st steps of a conception of confoliations designed to hyperlink geometry and topology of 3-dimensional touch constructions with the geometry and topology of codimension-one foliations on three-d manifolds. constructing virtually independently, those theories firstly look belonged to 2 diversified worlds: the speculation of foliations is a part of topology and dynamical platforms, whereas touch geometry is the odd-dimensional 'brother' of symplectic geometry.
- A guide to the classification theorem for compact surfaces
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Die topologiscbe Zuordnung und ihre verschiedenen Erzeugungsarten. 33 Aufgabe 3 (HAUSDORFF). e Metrik in einer Menge R, ist, man durch , e'{a ' b)=~~ t+e(a,b) eine topologisch-gleichwertige Metrik erhlilt. 1st e(a, b) eigentlich, so gilt dasselbe auch von e' (a, b). Des weiteren ist fur jedes Paar (a, b) stets e' (a, b) < 1. Wir wollen diesem Resultat fur' metrische Raume gleich die Form eines allgemeinen Satzes geben. 'Satz IV. Unter den (eigentlichen) Metriken eines metrisierbaren Raumes gibe es solche, bei denen tier Raum beschrankt' ist (d.
A - B, die Differenz, bedeutet die Menge aller Punkte von A, die nicht zu B geh6ren. :::) ist auszusprechen: "ist enthalten in" bzw. "enthalt". Dementsprechend bedeuten A C B und B:::) A dasselbe, namIich, da/3 jedes Element von A gleichzeitig auch Element von B ist (d. h. da/3 A TeilMenge von B. oder B Obermenge von A ist; dabei wird der Fall A = B nicht ausgeschiossen). Es bezeichnet peA, da/3 der Punkt p ein Element der Menge A ist; zwischen einem Punkt und der aus diesem einzigen Punkt bestchenden Punktmenge wird nicht unterschieden.
Dadurch entsteht ein metrischer Raum C, der in der Funktionalanalysis von groI3er Bedeutung ist. Wir werden iibrigens auf Veraligemeinerungen dieses Raumes noch bei spaterer Gelegenheit zuriickkommen (vgl. § 3, Nr·3)· 3°. , t n ). Die beiden folgenden Metriken (1) und e«tl' ... , tn); (t~, e' «tl' ... , tn); ... , t~)) = 1'(t1 - 4)1 + ... + (tn - - 41 + ... + 1tn - (ti,···, t~)) = 1tl t~)2 t~ I sind topologisch-gleichwertig; der durch sie bestimmte aligemein-topologische Raum heiI3t der n-dimensionale Zahlenraum.