By Marco Manetti
Nato dall’esperienza dell’autore nell’insegnamento della topologia agli studenti del corso di Laurea in Matematica, questo libro contiene le nozioni fondamentali di topologia generale ed una introduzione alla topologia algebrica. los angeles scelta degli argomenti, il loro ordine di presentazione e, soprattutto, il tipo di esposizione tiene conto delle tendenze attuali nell’insegnamento della topologia e delle novita’ nella struttura dei corsi di Laurea scientifici conseguenti all’introduzione del sistema 3+2. Il libro contiene circa four hundred esercizi, in parte risolti.
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Example text
Viceversa, supponiamo f(A) ⊂ f(A) per ogni A ⊂ X. In particolare per ogni chiuso C ⊂ Y vale (ponendo A = f −1 (C)) f(f −1 (C)) ⊂ f(f −1 (C)) = C = C e quindi f −1 (C) ⊂ f −1 (C), che equivale a dire che f −1 (C) `e chiuso. 20. 22. Composizione di applicazioni continue `e continua. Dimostrazione. Siano f : X → Y e g : Y → Z due applicazioni continue e sia A ⊂ Z un aperto. Dalla continuit` a di g segue che g−1 (A) `e aperto e, dalla continuit` a di f segue che f −1 g−1 (A) `e aperto. Basta adesso osservare che ⊓ ⊔ f −1 g−1 (A) = (gf)−1 (A).
Sono note a tutti. Vediamo adesso un’altra applicazione che sar` a utilizzata in seguito. 3. Sia X ⊂ N un sottoinsieme infinito. Allora esiste un’applicazione bigettiva e strettamente crescente f : N → X. Dimostrazione. Per ogni sottoinsieme finito Y ⊂ X il complementare X − Y non `e vuoto e quindi ammette minimo. 3 Cardinalit` a f(1) = min(X), 23 f(n + 1) = min(X − {f(1), f(2), . . , f(n)}). ⊓ ⊔ Per quanto riguarda i numeri reali, risulta essere di particolare importanza il seguente principio.
2. f `e chiusa e bigettiva. 3. f `e aperta e bigettiva. Dimostrazione. [1 ⇒ 2] Ogni omeomorfismo `e bigettivo per definizione. Se g : Y → X `e l’inversa di f, allora g `e continua e per ogni sottoinsieme chiuso C ⊂ X, f(C) = g−1 (C) `e chiuso in Y . [2 ⇒ 3] Sia A ⊂ X un aperto e poniamo C = X − A. Poich´e f `e bigettiva si ha f(A) = f(X − C) = Y − f(C) e quindi f(A) `e il complementare del chiuso f(C). 46 3 Strutture topologiche [3 ⇒ 1] Se g : Y → X `e l’inversa di f, allora per ogni sottoinsieme aperto A ⊂ X, g−1 (A) = f(A) `e aperto e quindi g `e continua.