By Paul Roman
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2 Historische Notizen. 15) war Euler sp¨ atestens 1749 gel¨ aufig, vgl. [62, I-15,S. 82]. 13) zum Ausgangspunkt der Theorie, [81, S. 145]. 13) bereits vorweggenommen hatte, [62, I-16, S. 144]; auch Weierstrass gibt noch 1876 Gauss als Entdecker an, [274, S. 91]. ⊓ ⊔ Es hat sich eingeb¨ urgert, – vgl. B. [279, S. 17) nach Weierstrass zu benennen. Es kommt aber bei ihm in dieser Form nicht vor; in [274, S. 91], findet sich allerdings das Produkt ∞ 1+ n=1 x −x log[(n+1)/n] e n f¨ ur die Faktorielle“ 1/Γ (x).
1 ψ(z) = −γ − − z ν=1 1 1 − z+ν ν ; dabei konvergiert die Reihe normal in C. Beweis. Wegen Γ = 1/Δ gilt ψ = −Δ′ /Δ. 5 durch logarithmische Differentiation von Δ(z) = zeγz (1 + ⊓ ⊔ z/ν)e−z/ν . 2. Es gilt Γ ′ (1) = ψ(1) = −γ; ψ(k) = 1 + 1 1 + ··· + − γ f¨ ur k = 2, 3 . . 2 Die Gammafunktion Beweis. Es ist Γ ′ (1) = ψ(1) = −γ − 1 − ν≥1 1 ν+1 − 1 ν 41 = −γ − 1 + 1 = −γ. 18). 3 (Partialbruchdarstellung von ψ ′ (z)). Es gilt ψ ′ (z) = ∞ 1 , (z + ν)2 ν=0 dabei konvergiert die Reihe normal in C. Beweis.
263, S. 42 und 56]). 3]. 4 Eulersche Partitionsprodukte∗ Neben dem Sinusprodukt hat Euler das Produkt Q(z, q) := ν=1 (1 + q ν z) = (1 + qz)(1 + q 2 z)(1 + q 3 z) · . . intensiv studiert. Es ist f¨ ur jedes q ∈ E wegen |q|ν < ∞ normal konvergent in C und also eine ganze Funktion in z, die im Fall q = 0 genau in den Punkten −q −1 , −q −2 , . . Nullstellen, und zwar von erster Ordnung, hat. Aus Q(z, q) entstehen f¨ ur z = 1 bzw. z = −1 die im Einheitskreis holomorphen Produkte (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 3 ) · .