By Mikhlin S.G., Prossdorf S.
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Dann gilt τ (f −1 (E )) = f −1 (τ (E )) Beweis. 2 folgt, dass f −1 (τ (E )) eine Topologie ist. Daher gilt τ (f −1 (E )) ⊆ f −1 (τ (E )) Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion betrachten wir das Mengensystem T0 := A ∈ 2Ω f −1 (A ) ∈ τ (f −1 (E )) 28 Kapitel 2. 1 folgt, dass T0 eine Topologie ist. Daher gilt τ (E ) ⊆ T0 und damit f −1 (τ (E )) ⊆ f −1 (T0 ) ⊆ τ (f −1 (E )) Damit ist das Lemma bewiesen. 3 Satz (Stetige Abbildungen). Seien (Ω, T ) und (Ω , T ) topologische R¨ aume und sei E ein Erzeuger von T und f : Ω → Ω eine Abbildung.
X, ε) = πi−1 (B| . | (xi , ε)) B| . ,n} Da alle Projektionen bez¨ uglich der Produkttopologie stetig sind, ergibt sich daraus B . ,n} T (R). Daher gilt E . ,n} T (R) und damit T . ,n} Sei nun i ∈ {1, . . , n}. F¨ ur alle x ∈ Rn und f¨ ur alle ε, δ ∈ (0, ∞) mit δ ≤ ε gilt πi (B . ∞ (x, δ)) ⊆ πi (B . ∞ (x, ε)) = B| . | (πi (x), ε) Daher ist πi f¨ ur alle x ∈ Rn stetig in x, und damit stetig bez¨ uglich der Topologie T . ∞ . Damit ist gezeigt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der Topologie T .
Ii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A \ B ∈ R. (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ R gilt n∈N An ∈ R. Jede σ–Algebra ist ein σ–Ring, und jeder σ–Ring ist ein Ring. K σ–Ideale: Sei R ⊆ 2Ω ein σ–Ring. Ein Mengensystem I ⊆ R heißt σ–Ideal in R, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ I. (ii) F¨ ur alle A ∈ I und f¨ ur alle B ∈ R mit B ⊆ A gilt B ∈ I. (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ I gilt n∈N An ∈ I. Jedes σ–Ideal in einem σ–Ring ist ein σ–Ring. L Stellen Sie die Inklusionen zwischen den in diesem Kapitel betrachteten Klassen von Mengensystemen in einem Diagramm dar.