By Morgan, J
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TH~ORIE DES ~QUATIONS AUX D~RIV:eES PARTIELLES est définie et possède des dérivées premières continues pour x un triangle plus grand limité par les droites 1 > 1 x=x o ; x-x o=T(Y-Y3); x-xo=-T(Y-Y') Xo dans (89) (Y3 < YI < Y2 < y,,). Supposons d'autre part que 1 U x 1~ A 1 u y 1 +B sur le triangle D. tout entier privé de la base x 1u (x o, sur la base x (90) 1 u l, = xo, et que y) I~ M (91) = X o' Sous ces conditions 1u sur le triangle ~ (x, y) 1 ~ MeB(x-xo) , (92) tout entier. Commençons par prouver ce lemme pour A = B = 1.
Dans le premier cas, ces fonctions doivent dépendre des variables (x, y, p, q), dans le second, il faut ajouter u à ces variables. La méthode de Lagrange-Charpie consiste donc à trouver une intégrale du système (159) ou (161) qui soit en involution avec F. Signalons un fait qui saute immédiatement aux yeux lorsqu'on compare les méthodes de Cauchy et de Lagrange. Avec la méthode de Cauchy on doit trouver toutes les intégrales du système (159), avec la méthode de Lagrange-Charpie, une seule. Si l'on connaît une intégrale complète de l'équation (154), on peut complètement intégrer le système (159).
Xn , U, Pl' ... , Pn) = C. Supposons qu'on a réussi à intégrer le système indiqué: { = X k(s, plO») U - U (s , k x IO , ) u(O) , plO») k, k , u(O) , plO») k, Pk-- P k (s , XIO) Xk lO ) xk , u(O) , k , (99) XkO l , u(O), PkO l sont les valeurs des fonctions pour s = O. On admettra que ces valeurs initiales dépendent de (n - 1) paramètres: OÙ En portant (100) dans (99), on obtiendra pour Xk et u des expressions qui dépendront de n paramètres. Le déterminant fonctionnel t1= D(Xl' xn) "'1 D (s, tl' ...