By Norbert Kusolitsch
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3) 28 3 Mengenfunktionen Beweis. 1) folgt, muss man nur die andere Richtung zeigen, die wir zunächst unter der einschränkenden Voraussetzung beweisen, dass die disjunkten Mengen A1 , . . , An aus T so indiziert werden können, dass k gilt Ai ∈ T ∀ 1 ≤ k ≤ n . Wir zeigen das mit vollständiger Induktion. 1) für n Mengen, die die obige Bedingung erfüllen, gilt, erhält man n+1 n Ai μ =μ n ∪ An+1 Ai i=1 =μ Ai i=1 + μ(An+1 ) i=1 n n+1 = μ(Ai ) + μ(An+1 ) = μ(Ai ) . 1) unter der obigen Voraussetzung gezeigt.
Wegen f −1 (C) ⊆ R(f −1 (C)) enthält S := A ⊆ Ω2 : f −1 (A) ∈ R(f −1 (C)) andererseits C , und S ist ein Ring, denn A , B ∈ S ist gleichbedeutend zu f −1 (A), f −1 (B) ∈ R(f −1 (C)) . h. A ∪ B ∈ S . Somit gilt R(C) ⊆ S . Dies entspricht f −1 (R(C)) ⊆ R(f −1 (C)) . Damit ist f −1 (R(C)) = R(f −1 (C)) bewiesen. Die anderen Aussagen des Satzes zeigt man auf ganz ähnliche Art, sodass es sich erübrigt diese Beweise im Detail auszuführen. 64. Ist C ⊆ P(Ω) ein beliebiges Mengensystem, so bezeichnet man C ∩ A := {B = C ∩ A : C ∈ C} als die Spur (oder Restriktion) von C auf A .
Aber B ∩ A1 und B ∩ Ac1 ∩ A2 bilden die additive Zerlegung von B ∩ (A1 ∪ A2 ) durch A1 , daher gilt μ∗ (B ∩ A1 ) + μ∗ (B ∩ Ac1 ∩ A2 ) = μ∗ (B ∩ (A1 ∪ A2 ) ) . Oben eingesetzt ergibt das μ∗ (B) = μ∗ (B ∩ (A1 ∪ A2 )) + μ∗ (B \ (A1 ∪ A2 )) . 44 4 Fortsetzung von Maßen auf σ–Algebren Abb. 2. A1 , A2 ∈ Mμ∗ ⇒ A1 ∪ A2 ∈ Mμ∗ Daraus folgt A1 ∪ A2 ∈ Mμ∗ . Somit ist Mμ∗ eine Algebra. 3) angewendet auf B := C ∩ (A1 ∪ A2 ) μ∗ (C ∩ (A1 ∪ A2 )) = μ∗ (C ∩ A1 ) + μ∗ (C ∩ A2 ) . 4 und der obigen Gleichung, dass für beliebiges C ⊆ Ω , für alle disjunkten Mengen A1 , .