By Klaus D. Schmidt
Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat durch vielfältige neue Anwendungen in der Wirtschaft auch in der Lehre deutlich an Bedeutung gewonnen. Sie beruht auf der Maß- und Integrationstheorie, die gleichzeitig eine der Grundlagen der Funktionalanalysis bildet.
Dieses Buch bietet eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie im Spannungsfeld zwischen ihren theoretischen Grundlagen und ihren Anwendungen. Dabei wird die systematische Darstellung der klassischen Themen der Wahrscheinlichkeitstheorie durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzt, die Ansatzpunkte für eine Vertiefung der Theorie und für Anwendungen beispielsweise in der Statistik und in der Versicherungsmathematik darstellen.
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Dann gilt τ (f −1 (E )) = f −1 (τ (E )) Beweis. 2 folgt, dass f −1 (τ (E )) eine Topologie ist. Daher gilt τ (f −1 (E )) ⊆ f −1 (τ (E )) Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion betrachten wir das Mengensystem T0 := A ∈ 2Ω f −1 (A ) ∈ τ (f −1 (E )) 28 Kapitel 2. 1 folgt, dass T0 eine Topologie ist. Daher gilt τ (E ) ⊆ T0 und damit f −1 (τ (E )) ⊆ f −1 (T0 ) ⊆ τ (f −1 (E )) Damit ist das Lemma bewiesen. 3 Satz (Stetige Abbildungen). Seien (Ω, T ) und (Ω , T ) topologische R¨ aume und sei E ein Erzeuger von T und f : Ω → Ω eine Abbildung.
X, ε) = πi−1 (B| . | (xi , ε)) B| . ,n} Da alle Projektionen bez¨ uglich der Produkttopologie stetig sind, ergibt sich daraus B . ,n} T (R). Daher gilt E . ,n} T (R) und damit T . ,n} Sei nun i ∈ {1, . . , n}. F¨ ur alle x ∈ Rn und f¨ ur alle ε, δ ∈ (0, ∞) mit δ ≤ ε gilt πi (B . ∞ (x, δ)) ⊆ πi (B . ∞ (x, ε)) = B| . | (πi (x), ε) Daher ist πi f¨ ur alle x ∈ Rn stetig in x, und damit stetig bez¨ uglich der Topologie T . ∞ . Damit ist gezeigt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der Topologie T .
Ii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A \ B ∈ R. (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ R gilt n∈N An ∈ R. Jede σ–Algebra ist ein σ–Ring, und jeder σ–Ring ist ein Ring. K σ–Ideale: Sei R ⊆ 2Ω ein σ–Ring. Ein Mengensystem I ⊆ R heißt σ–Ideal in R, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ I. (ii) F¨ ur alle A ∈ I und f¨ ur alle B ∈ R mit B ⊆ A gilt B ∈ I. (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ I gilt n∈N An ∈ I. Jedes σ–Ideal in einem σ–Ring ist ein σ–Ring. L Stellen Sie die Inklusionen zwischen den in diesem Kapitel betrachteten Klassen von Mengensystemen in einem Diagramm dar.