By Norbert Herrmann
Das Lehrbuch deckt die wichtigsten Themen ab, mit denen sich Ingenieure und Physiker nach den Einführungsvorlesungen aus der research und der linearen Algebra beschäftigen. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt auf den für Ingenieure und Physiker wichtigen numerischen Verfahren. Diese numerischen Verfahren sind auch für Mathematiker, die sich für Anwendungen interessieren, von elementarer Bedeutung. Der Autor veranschaulicht anhand einer Vielzahl von Beispielen und in einer leicht verständlichen Sprache die Inhalte. Ausgehend von den Grundlagen nähert er sich schrittweise komplexen Themen und skizziert Beweise, sofern sie für das Verständnis hilfreich sind. Das Buch ist damit hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet!
Read Online or Download Höhere Mathematik: für Ingenieure, Physiker und Mathematiker, 2 Auflage PDF
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Example text
V1 und . V2 gibt es stets zwei positive Zahlen c1 und c2 , so daß gilt c1 x V1 ≤ x ≤ c2 x V2 V1 . 25) Diese Zahlen k¨onnen wir f¨ ur unsere oben eingef¨ uhrten Normen sogar explizit angeben. 27) ≤ x 1. 26) beweisen. Die anderen lassen sich ganz analog herleiten. Das macht dann keinen Spaß mehr. Sei ein beliebiger Vektor x = 0 gegeben. Unter seinen n Komponenten suchen wir die betraglich gr¨oßte und nennen sie xmax . Dann ist die folgende Absch¨atzung m¨oglich: x 2 = x21 + · · · + x2n x2max + · · · + x2max √ = |xmax | · n √ = n x ∞ ≤ womit wir die rechte Ungleichung haben.
0 ⎠ ⎠ ⎝ .. ⎝ .. ··· 1 0 ··· 0 Wir fassen das im folgenden Algorithmus zusammen. 6 L–R–Zerlegung 45 Durchfu ¨hrung der L–R–Zerlegung Man bestimme die zur Elimination erforderlichen Frobeniusmatrizen wie oben beschrieben und bilde A → → F1 · A F2 · F1 · A ··· → Fn−1 · Fn−2 · · · F2 · F1 · A = R. 57) L Hier haben wir weidlich ausgenutzt, daß sich die inverse Matrix einer Frobeniusmatrix so puppig leicht bestimmen l¨ aßt, halt nur durch Vorzeichenwechsel. Das Produkt dieser inversen Matrizen von Frobeniusgestalt ist dann die gesuchte untere Dreiecksmatrix L.
Aus Gr¨ unden der Stabilit¨at empfiehlt sich n¨amlich stets ein solcher Zeilentausch, wie wir im n¨achsten Abschnitt zeigen werden. 2 Pivotisierung Betrachten wir das folgende Beispiel. 8338 ⎠ . 3279. Stellen wir uns vor, daß wir mit einer Rechenmaschine arbeiten wollen, die nur vier Stellen bei Gleitkommarechnung zul¨ aßt. Das ist nat¨ urlich reichlich akademisch, aber das Beispiel hat ja auch nur eine (3 × 3)–Matrix zur Grundlage. Nat¨ urlich k¨onnten wir eine Maschine mit 20 Nachkommastellen bem¨ uhen, wenn wir daf¨ ur das Beispiel entsprechend h¨oher dimensionieren.