By Gerd Laures
Die Topologie besch?ftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so m?chtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde.
Dieses Buch versteht sich als Br?cke von den einf?hrenden Vorlesungen der research und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Es eignet sich besonders f?r Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang der Mathematik, kann aber auch zum Selbststudium f?r mathematisch interessierte Naturwissenschaftler dienen.
Die Autoren legen besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und damit erleichtert. Definitionen werden stets mit vielen Beispielen unterlegt und neue Konzepte werden mit zahlreichen Bildern illustriert. ?ber one hundred seventy ?bungsaufgaben (mit L?sungen zu ausgew?hlten Aufgaben auf der site zum Buch) helfen, die vermittelten Inhalte einzu?ben und zu vertiefen. Viele Abschnitte werden erg?nzt durch kurze Einblicke in weiterf?hrende Themen, die einen Ausgangspunkt f?r Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten.
Neben dem ?blichen Stoff zur mengentheoretischen Topologie, der Theorie der Fundamentalgruppen und der ?berlagerungen werden auch B?ndel, Garben und simpliziale Methoden angesprochen, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie geh?ren.
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Auf A ist f konstant 0 und auf B konstant 1, denn dies gilt für jedes fn . Das Erstaunliche ist nun, dass f stetig ist und somit eine Urysohn-Funktion, obwohl keines der fn es sein muss. Hierzu beachte man |fn (x) − fn+1 (x)| 2−(n+1) ◦ und für alle x, y ∈ An+1 \ An−1 gilt 2−n . |fn (x) − fn (y)| Es ergibt sich |f (x) − f (y)| |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (y)| + |fn (y) − f (y)| ∞ ∞ 2−k + 2−n + k=n+1 2−k = 3 · 2−n . k=n+1 Wählt man also ein n, welches ε > 3 · 2−n erfüllt, so kann x in der offenen Umge◦ bung An+1 \ An−1 variiert werden, ohne Schwankungen größer als ε zu erhalten.
47 In diesem Kapitel werden Eigenschaften topologischer Räume untersucht, die sich von einem Raum auf jeden anderen hierzu homöomorphen Raum übertragen. Solche Eigenschaften nennt man topologisch. Die wichtigsten sind Zusammenhang, Trennungsaussagen und Kompaktheit. Die ersten beiden werden in diesem Kapitel diskutiert, die letzte dann im nächsten Kapitel. 1 Zusammenhang Definition: Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn es keinen Homöomorphismus von X mit einer Summe X1 + X2 zweier nicht leerer topologischer Räume X1 und X2 gibt.
4 Abbildungsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lokal kompakt erzeugte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 In diesem Abschnitt wird zunächst der Begriff der Kompaktheit topologischer Räume eingeführt. Danach wird er zu dem Begriff der eigentlichen Abbildung relativiert. Es folgt ein technischer Anschnitt über den Satz von Tychonoff, der bei der ersten Lektüre übergangen werden kann. Anschließend widmen wir uns den Abbildungsräumen: Wie es schon in der Analysis vor allem die Funktionenräume sind, denen das Interesse gilt, so sind es auch in der Topologie die Räume von stetigen Abbildungen, welche äußerst wichtige Beispiele von topologischen Räumen liefern.