By N. Bourbaki
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce neuvième chapitre du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, est consacré a l intégration dans les espaces topologiques séparés non nécessairement localement compacts, ce qui permet d étendre los angeles théorie de los angeles transformation de Fourier aux espaces vectoriels localement convexes.
Ce chapitre introduit également los angeles mesure de Wiener qui intervient dans le cadre de l étude du flow brownian.
Read or Download Éléments de Mathématique: Elements de Mathematique. Integration. Chapitre IX: Integration sur les espaces topologiques separes: Chapitre 9 PDF
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Est un encombrement localement borné, et la condition 4) d'après le cor. de la prop. 5 du $1, no 6. Pour montrer que ces conditions sont suffisantes, nous commencerons par traiter le cas où T est compact. Lemme 1. - Supposons que T soit compact, et posons I(T) = 1. Pour tout A c T, posons et soit cD l'ensemble des A c T tels que J(A) + J(GA) = 1. L'ensemble cD est alors un clan qui contient 9 ( T ) , et la fonction J sur cD est croissante et additive. I l est clair que J est une fonction d'ensemble croissante, qui prolonge 1, et que l'on a J(A) + J(CA) g 1 pour tout A c T.
De même, si f est v-négligeable, le corollaire 2 de la prop. 11 entraîne que N est A-négligeable. Le cas oh f est v-modérée se traite alors comme ci-dessus, en combinant les deux cas précédents. Supposons que y soit portée par une partie compacte L de T; alors, on a encore N = NL, et N est donc localement A-négligeable. Toute mesure modérée étant somme d'une suite de mesures à support compact (5 1, no 9, cor. 5 de la prop. 14), ce résultat s'étend aussitôt au cas où y est modérée en utilisant la prop.
Soit O une mesure sur T ; l'application A est vaguement O-mesurable et scalairement essentiellement O-intégrable, donc aussi O-adéquate (chap. , $ 3, no 1, prop. 2, b)). Soitf une fonction positive universellement mesurable sur X ; d'après la prop. 5 du chap. , $ 3 , no 2, appliquée à [h,dO(t) l'application t 1;(f) est O-mesurable, donc universellement mesurable vu l'arbitraire de O. B) On suppose qu'il existe une partie compacte X' de X portant la mesure v et telle que p,, soit continue: Posons alors T' = p(Xf), et p' = Px,; nous noterons v' la mesure vx, et p' la mesure image pf(v') sur T'.