By Arutyunov A.V., Jacimovic V.
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Wahrend dort einfach drei konkrete Vektoren gegeben waren, bei denen man testen mute, ob sie in einer Ebene liegen, taucht hier im zweiten Vektor noch die Variable x auf, ein sogenannter Parameter, und je nachdem, welchen Wert x annimmt, werden die drei Vektoren in einer Ebene liegen oder nicht. Die prinzipielle Vorgehensweise ist allerdings genau die gleiche wie vorher: damit drei dreidimensionale Vektoren in einer Ebene liegen, mu ihr Spatprodukt gleich Null sein, und deshalb werde ich jetzt zuerst das Spatprodukt der drei Vektoren ausrechnen.
5 Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Seitenlangen a und b sowie den Diagonalenlangen u und v. Zeigen Sie: u2 + v2 = 2(a2 + b2 ): Hinweis: Betrachten Sie die Seiten und die Diagonalen des Parallelogramms als Vektoren, schreiben Sie die Diagonalvektoren als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren und verwenden Sie Ihre Kenntnisse u ber das Skalarprodukt. Losung Der Hinweis verrat schon ziemlich deutlich, wie die ganze Sache funktionieren wird. 6 habe ich die benotigten Groen eingetragen: die Seiten des Parallelogramms werden von den beiden Vektoren a und b gebildet, und die Diagonalen im Prallelogramm entstehen, indem man graphisch die Vektoren a und b addiert bzw.
7. Gerade in der Ebene da der Cosinus betragsmaig nie groer als 1 werden kann, da also immer j cos 'j 1 gilt. Damit erhalte ich: jaj jbj j cos 'j = a21 + a22 b21 + b22 j cos 'j a21 + a22 b21 + b22 ; denn wie ich bereits erwahnt habe, ist j cos 'j 1. Damit wird aber insgesamt: ja1 b1 + a2 b2 j = jaj jbj j cos 'j a21 + a22 b21 + b22 ; und die gewunschte Ungleichung ja1 b1 + a2 b2 j a21 + a22 b21 + b22 ist bewiesen. Damit Sie auch hier den gesamten Gedankengang am Stuck sehen, schreibe ich noch einmal den Rechenweg von vorne bis hinten ohne Unterbrechung auf.